BUMI DAN ATARIKSA: ATMOSFER

Macam-macam Bilangan

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Dalam pembicaraan mengenai sejarah perkembangan bilangan, manusia primitif menghitung mulai dari 1 dan setiap bilangan berikutnya bertambah 1, sehingga diperoleh bilangan terurut 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Untuk menyatakan suatu set (himpunan, kumpulan) yang tidak memiliki anggota, misalnya batu kerikil dalam kantong telah habis, diciptakan lambang bilangan baru, yaitu 0 untuk menyatakan bilangan nol.

Perkembangan selanjutnya, tidak hanya membilang (menghitung satu per satu secara berurut) yang diketahui, tetapi operasi dan sifat-sifatnya antara bilangan tersebut di atas mulai dikenal: yaitu operasi tambah, operasi kurang, operasi kali, operasi bagi, dan sebagainya. Suatu himpunan bilangan tertentu dengan operasi dan sifat-sifatnya pada himpunan itu, kita namakan dengan Sistem Bilangan.

Dalam melakukan operasi tambah dengan menggunakan himpunan bilangan yang telah diketahui tidak memenuhi hambatan, akan tetapi untuk melakukan operasi pengurangan dan untuk menyatakan bilangan yang kurang dari nol, diperlukan himpunan bilangan lain yaitu himpunan bilangan negatif.

Dalam makalah ini, penulis akan membahas tentang macam-macam bilangan seperti Bilangan Kardinal, Bilangan Ordinal, Bilangan Asli, Bilangan Komposit, Bilangan Sempurna, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, Bilangan Irasional, Bilangan Real, dan Bilangan Kompleks.

B.     Rumusan Masalah

Ada beberapa rumusan masalah yang akan di bahas dalam penulisan makalah ini yaitu sebagai berikut:

            1. Apa pengertian Bilangan itu?

            2. Apa sajakah macam-macam bilangan itu ?

C.    Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah yang akan dibahas, maka tujuan yang akan dicapai adalah:

            1. Untuk mengetahui pengertian Bilangan.

            2. Untuk mengetahui macam-macam Bilangan.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Pengertian Bilangan

Bilangan adalah suatu objek matematika yang sifatnya abstrak dan termasuk ke dalam unsur yang tidak di definisikan (undefined term)

Untuk menyatakan suatu bilangan dinotasikan dengan lambang bilangan yang disebut angka. Tetapi tidak setiap lambang yang menyatakan bilangan disebut angka.

B.     Macam-macam Bilangan

1.      Bilangan Kardinal

Perhatikan himpunan-himpunan berikut ini:

A= {a, b, c, d, e}

B= {jeruk, mangga, durian}

C= {huruf vokal}

Untuk menyatakan banyaknya anggota setiap himpunan di atas digunakan bilangan, yang disebut dengan Bilangan Kardinal. Dengan demikian, bilangan Kardinal adalah bilangan yang dipergunakan untuk menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan. Dengan kata lain bilangan Kardinal adalah bilangan yang menyatakan banyaknya dari suatu objek.

Pada contoh-contoh berikut ini, bilangan-bilangannya menunjukkan bilangan kardinal.

-          Banyaknya adik saya ada 2 orang.

-          Cukup 2 orang anak, laki-laki atau perempuan sama saja.

-          Banyak siswa kelas I-A adalah 30 orang.

-          Ibu membeli 4 keranjang buah-buahan.

-          A= {0, 1, 2, 3, . . ., 9}, maka n(A)= 10.

-          B= {x\x abjad latin}, maka n(B)= 26.

2.      Bilangan Ordinal

Selain berfungsi untuk menyatakan banyaknya suatu objek, bilangan sering digunakan pula untuk menyatakan urutan (rank). Bilangan yang berfungsi untuk menyatakan urutan, disebut Bilangan Ordinal.

Contoh:

a.       Saya anak ke-3.

b.      Pada pertandingan futsal kemarin, tim kelas A menduduki juara ke-3.

c.       Rumah nenekku adalah rumah ke-5 dari mesjid.

d.      Mobil yang ke-7 di halaman itu berwarna putih.

e.       Sita rangking ke-1 di kelasnya.

3.      Bilangan Asli

Istilah bilangan Asli merupakan terjemahan dari Natural Numbers. Ieperti halnya kita mengenal istilah penduduk asli, yaitu penduduk yang sejak semula menempati suatu daerah tertentu, demikian pula dengan istilah bilangan asli  dimaksudkan sebagai bilangan yang pertama kali  dikenal dan digunakan oleh manusia.

Seperti telah dibahas pada uraian terdahulu, manusi mengenal bilangan mulai dari 1, dan untuk menyatakan bilangan berikutnya ditambah dengan 1, dan seterusnya. Bilangan tersebut adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... yang kita sebit dengan bilangan asli. Jadi, bilangan asli adalah  bilangan yang digunakan untuk membilang (menghitung  mulai dari 1, satu per satu secara berurutan).

Himpunan bilangan asli dapat digolongkan menurut faktornya, yaitu:

a.       Bilangan genap (positif), yaitu bilangan asli yang memiliki faktor 2. Dengan kata lain, bilangan genap (positif)adalah bilangan asli yang habis di bagi 2, atau jika ia dibagi 2 menjadi 0.

Himpunan bilangan genap (positif) adalah {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

b.      Bilangan ganjil (positif), yaitu bilangan asli yang tidak memiliki faktor 2. Dengan kata lain, bilangan ganjir (positif) adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi 2, atau jika dibagi 2 selalu tersisa 1.

Himpunan bilangan ganjil (positif) adalah {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

c.       Bilangan prima (positif), yaitu bilangan asli yan tepat memiliki 2 faktor (1 dan dirinya sendiri). Dari pengertian tersebut, 1 bukan bilangan prima, karena hanya memiliki 1 faktor. Semua bilangan genap positif yang lebih daripada 2 bukan bilangan prima, karena ia memiliki faktor 2, dirinya sendiri, dan 1. Jadi lebih dari 2 faktor. Satu-satunya bilangan prima genap adalah 2, bilangan prima lainnya merupakan bilangan ganjil. Tetapi mesti diingat bahwa tidak setiap bilangan ganjil merupakan bilangan prima. Contohnya 9, 15, 21, dan 27 merupakan bilangan ganjil tetapi tidak prima. Berikut ini bilangan-bilangan prima yang kurang kurang dari 1000.

2	97	227	367	509	661	829
3	101	229	373	521	671	839
5	103	233	379	523	677	853
7	107	239	383	541	683	857
11	109	241	389	547	691	861
13	113	151	397	557	701	863
17	127	257	401	563	709	871
19	131	263	409	569	719	877
23	137	269	419	571	727	883
29	139	271	421	577	733	887
31	149	277	431	587	739	907
37	151	281	433	593	743	911
41	157	283	439	599	751	919
43	163	293	443	601	757	929
47	167	307	449	607	767	937
53	173	311	457	613	769	941
59	179	313	461	617	773	947
61	181	317	463	619	787	953
67	191	331	467	631	797	967
73	197	347	487	643	811	977
79	199	349	491	647	821	983
83	211	353	499	653	823	991
89	223	359	503	659	827	997

4.      Bilangan Komposit

Bilangan ini disebut juga bilangan tersusun yang di definisikan dengan bilangan asli yang memiliki lebih dari 2 faktor.

Contoh      :

 Himpunan bilangan tersusun (positif ) adalah:

{ 2,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,,dst}

5.      Bilangan Sempurna

Bilangan sempurna yaitu bilangan asli yang jumlah faktornya (kecuali factor yang sama dengan dirinya) sama dengan bilangan tersebut.

Contoh: 

1).        6 adalah bilangan sempurna, sebab faktor dari 6 adalah 1,2 dan 3 jumlahnya 6.

2).        28 adalah bilangan sempurna, sebab faktor dari 28 adalah 1,2,4,7 dan 14 jumlahnya 28.

6.      Bilangan Cacah

Jika kedalam himpunan  bilangan asli ditambah bilangan 0 (nol), kita peroleh himpunan bilangan cacah. Istilah itu merupakan terjemaahan dari whole numbers.

Contoh himpuna bilangan cacah itu adalah:        

                                          {0,1,2,3,4,5,6,7,8,..dst}

7.      Bilangan Bulat

Untuk menyatakan bilangan yang bernilai 2 kurangnya dari 0, dinyatakan dengan “negatif2” atau “-2”. Suhu di daerah kutub rata-rata 20◦  dibawah 0◦ dinyatakan dengan “-20◦”. Pada kalimat terbuka ….+10 = 7, agar kalimat tersebut menjadi kalimat tertutup yang benar diperoleh -3+10 = 7.

Gabungan antara himpunan semua bilangan asli, nol, dan himpunan semua lawan bilangan asli disebut himpunan bilangan bulat, yaitu

                                                {……,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}           

Jika himpunan semesta pembicaraan kita pada himpunan bilangan bulat, maka himpunan bilangan genap, bilangan ganjil, bilangan prima, bilangan komposit dapat diperluas menjadi:

·         Himpunan bilangan bulat genap

{…., -4,-2,0,2,4,6,8,.....}

·         Himpunan bilangan bulat ganjil

{….,-3,-1,0,1,3,5,7,99,….}

·         Himpunan bilangan bulat prima

{….2,3,5,7,11…….}

·         Himpunan bilangan bulat komposit

{….0,4,6,8,9,10,…}

Demilkian pula halnya dengan faktor atau pembagi, adalah

            {1,2,3,4,5,6……}

Secara umum, bilangan prima p adalah bilakan bulat bukan 0 dan bukan 1 yang memiliki faktor hanya 1 dan p

8.      Bilangan Rasional

Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  , dengan a bilangan bulat, b  0. Selanjutnya,a dan b dipersyaratkan tidak memiliki faktor sekutu, kecuali 1 setelah disederhanakan.

Dari definisi di atas, jelaslah bahwa setiap bilangan bulaat termasuk ke dalam bilangan rasional, karena dapat dinyatakan dalam bentuk  , contoh 4 =  , 1 =  , 0 =  tetapi tidak setiap bilangan rasional merupakan bilangan vbulat, yaitu pecahan. Contoh : ,  ,  adalah bilangan rasional tapi bukan bilangan bulat.

Bilangan pecahan dibagi menjadi 2 macam, yaitu Pecahan biasa dan Pecahan Desimal. 

1).  Pecahan Biasa

(i)         Pecahan murni adalah pecahan berbentuk  a < b. Misalnya :    

(ii).       Pecahan campuran adalah pecahan berbentuk a > b, Atau pecahan yang memuat bilangan bulat dan bilangan pecahan.

            Misalnya    ,  ,

(iii).      Pecahan palsu adalah pecahan berbentuk  , dengan b habis dibagia. Pecahan palsu sebenarnya bukan pecahan, tetapi ditulis dalam bentuk pecahan,

            Misalnya :  ,  

                   2). Pecahan desimal

(i)         Pecahan terbatas, misalnya 0,25 ; 0,50 ; 0,2334 ; 0,54321 ; 0,10.

(ii).       Pecahan desimal tak terbatas, terdiri dari pecahan rasional tak terbatas, berulang dan pecahan desimal tak berulang.

Pecahan desimal tak terbatas berulang, contohnya :

            0,333333         ..... biasa disingkat 0, atau 0,3

            0,232323         ..... biasa disingkat 0, atau 0,23

            3,012012         ..... biasa disingkat 3, 

Pecahan desimal tak terbatas tak berulang, contohnya :

            0,114113576891         .....

3,142857142               ..... : =

2,718218                     ..... : = e (Bilangan napier)

9.      Bilangan Irasional

Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk,   dengan a, b € B dan b ≠ 0. Dengan kata lain bilangan rasional adalah bilangan yang tidak rasional. 

Bilangan pecahan desimal tak terbatas dan tak berulang adalah bilangan irasional.       

Contoh :

1,414213562. . . = √2

1,732050807. . . = √3

4,898979485. . . = √24

Berikut ini akan dibuktikan bahwa bilangan √3 adalah bilangan irasional. Cara pembuktiannya dengan menggunakan pembuktian tidak langsung (indirect proof), yaitu dengan menggunakan kontradiksi. Garis besar pembuktian cara ini adalah dengan memisalkan hal yang akan dibuktikan “tidak benar”. Dari pemisalan ini kemudian diproses dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku sebelumnya, sehingga terdapat suatu hal yang sifatnya kontradiksi (baik dengan logika maupun aturan sebelumnya). Karena adanya kontradiksi ini, maka pemisalan pada awal pengerjaan kita salah. Dengan kata lain, pemisalan “tidak benar” itu salah. Jadi ia seharusnya benar.

Sekarang marilah kita lihat cara membuktikan bahwa √3 bilangan irasional.

Pembuktian:                                                                                             

Misalkan √3 adalah bilangan irasional itu salah, maka √3 adalah bilangan rasional.

Karena √3 bilangan rasional, maka ia dapat ditulis dalam bentuk ,   dengan a, b € B dan b ≠ 0, dan tidak memiliki faktor sekutu kecuali 1.

Jika √3 =    , maka  = . Karena ruas kanan bilangan kelipatan 3, maka  juga bilangan kelipatan 3 sehingga a juga kelipatan 3, atau a =3c (untuk suatu c B). Jika nilai a 3c ini disubtitusikan ke dalam kesamaan  =  adalah bilangan kelipatan 3, sehingga b pun merupakan bilangan kelipatan 3. Dengan demikian a dan b mempunyai faktor sekutu, yaitu √3. Hal ini bertentangan (kontadiksi) dengan definisi bilangan rasiional. Jadi pemisalan kita pada awal pembuktian ini, yaitu bilangan rasional, tidak benar. Ini berarti √3 adalah bilangan irasional.

Sekarang kita lihat bahwa √3 = 1,732050807. . . sebagai bilangan pecahan desimal tak terbatas dan tak berulang. Jika kita misalkan :

            

               x  = 1,732050807. . .

Maka  10 x = 1,732050807. . .   -

              9x = 16,?????????. . . .

Karena bilangan di belakang koma tidak dapat kita tentukan, maka tidak dapat membentuk bilangan dengan persyaratan seperti definisi bilangan rasional. Jadi √3 irasional.

Pembuktian terakhir ini, dalam matematika dikatkan pembuktian induktif (tidak fomal), sifatnya hanya menunjukan. Istilah pembuktian dalam matematika harus secara deduktif (formal), berdasarkan atura-aturan matematika yang telah ada.

Untuk melukiskan letk titik pada garis bilangan atau menyatakan ruas garis yang panjang dinyatakn dengan bilangan irasional, dengan bantuaan dalil Pythagoras dapat dilihat pada gambar berikut ini.

10.  Bilangan Real

Bilangan real adalah gabungan antara himpunan bilangn rasional dengan bilangan irasional.

Dengan perluasan dari bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real, jika menggambarkan titik-titik pada suatu garis bilangan tidak ada tempat kosong lagi. Artinya setiaptitik pada garis bilangn dapat dikpres[ondensikan satu-satu dengan setiap bilangan real. Untuk menggambarkan himpunan titik yang memenuhi {x l – 1 ≤ x < 5, x   R} adalah

                                                                                                                 

 

Sesuai dengan buku paket, untuk menyatakan himpunan bilangan real dinotasikan dengan R. Dengan catatan bahwa jika suatu himpunan bilangan tidak dinyatakan pada himpunan bilangan apa, diartikan pada himpunan bilangan real.

11.  Bilangan Kompleks

Bilangan komplekas adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan riil dan imajiner. Untuk menyatakan himpunan bilangan kompleks  akan dinotasikan dengan K (dalam buku lain notasi ini mungkin berbeda, tergantung perjanjian).

Bilangan rasional tidak negatif di dalam tanda akar merupakan bilangan real, tetapi bilangan rasional negatif di dalam tanda akar berpangkat genap tidak termasuk ke dalam bilangan real karena tidak ada birangan real (rasional) jika dipangkatkan genap menghasilkan bilangan negatif.

      Contoh X²  = -2 atau x =

12.   

Kita tidak bisa menentukan nilai x R yang memnuhi persamaan di atas.

Operasi untuk menarik akar pangkat genap dari bilangan negatif mengharuskan kita membentuk himpunan bilangan baru yang akan kita sebut dengan himpunan Bilangan Kompleks.

Dalam bilangan kompleks didefinisikan:

      I²  = -1 atau i =

Jadi i dalam bilangan komplekas adalah sebuah bilangan, bukan variabel atau huruf. Dalam bilangan real, kita mengenar perkalian:

                   .  =

Dengan syarat a dan b bilangan real tidak negatif. Dalam bilangan komplekas hubungan di atas tidak berlaku, sebab :

                   .         = i   . i

                                          = i²    

                                          = -

Jadi, tidak benar jika anda menuliskan

                 

Untuk lebih jelasnya mengenai bilangan i (imajiiner) ini marilah kita lihat beberapa contoh berikut ini.

Contoh :

                  1.         i³             =  i² .1 = -1 . i = i

                  2.         i⁴             = (i²)² = (-1)² = 1

                  3.         i⁵             = (i²)² . i = i

                  4.         i⁶             = (i²)³ – (-1)³ = -1

                  5.         i²⁷           = (i²)1³ .1 = (-1)¹³ . 1 . -1

Bentuk umum dari bilangan kompleks adalah --- > a + bi

Dengan a,b R. A disebut bagian Real  dan bi  disebut bagian imajiner.

      Notasi a + b  i menentukan pasangan terurut tunggal (a,b) dan sebaliknya pasangan terurut (a,b) menentukan suatu bilangan komplekas a + b i. Jadi ada korespondensi satu-satu antara a + bi dengan (a,b). Dengan demikian himpunan bilagnan komplekas dapat didefinisikan seba8gai pasangan terurut (a,b) , dengan a,b R atau :

                  K = { zI z = (a,b)   R}

     

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Bilangan adalah suatu objek matematika yang sifatnya abstrak dan termasuk ke dalam unsur yang tidak di definisikan (undefined term).

Untuk menyatakan suatu bilangan dinotasikan dengan lambang bilangan yang disebut angka. Tetapi tidak setiap lambang yang menyatakan bilangan disebut angka.

Macam-macam bilangan di antaranya:

(1).       Bilangan Kardinal, bilangan yang dipergunakan untuk menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan.

(2).       Bilangan Ordinal, Untuk menyatakan objek dan sering digunakan pula untuk menyatakan urutan (rank).

(3).       Bilangan Asli sebagai terjemahan dari natural numbers  dimaksudkan sebagai bilangan yang pertama kali dikenal dan digunakan oleh manusia.

(4).       Bilangan Komposit/Positif. Bilangan asli yang memiliki lebih dari 2 faktor. 

(5).       Bilangan Sempurna, yaitu bilangan asli yang jumlah faktornya (kecuali faktor sama yang dengan dirinya) sama dengan bilangan tersebut.

(6).       Bilangan Cacah, Bilangan asli yang ditambahkan dengan bilangan nol (0). 

(7).       Bilangan Bulat, gabungan antara semua bilangan asli, nol  dan himpunan semua lawab bilangan asli. 

(8).       Bilangan Rasional, Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk     

(9).       Bilangan Irasional,  bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

(10).     Bilangan Real , gabungan antara himpunan bilangan rasional dan irasional.

(11).     Bilangan Komposit, bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan riil dan imajiner

B.   Saran

     Semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan wawasan kita tentang  “Macam-macam Bilangan”. Kami menyadari bahwa makalah yang kami buat masih jauh dari kata sempurna oleh karena itu pembaca yang ingin mendalami atau memahami lebih dalam tentang materi Macam-macam Bilangan bisa membaca dari sumber yang lebih lengkap.

DAFTAR PUSTAKA

Karso, dkk. 1993. Pendidikan Matematika 4. Jakarta: UT Depdikbud